Porquê OM é Metade de AB?

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O fato do ponto M ser ponto médio do segmento AB é condição necessária e suficiente para que o segmento OM seja paralelo a duas das arestas da base da pirâmide.

Prova (condição necessária, figura 1):

Sendo M ponto médio do segmento AB, então OM é altura do triângulo isósceles ABO e consequentemente é perpendicular ao segmento AB(veja figura à esquerda), ou seja, .

Mas: pois são ângulos internos de um quadrado.

Logo: .

Mas, no plano, se duas retas são perpendiculares a uma terceira então elas são paralelas entre si. Concluímos então que OM // BC // AD.

Prova (condição suficiente, figura 2):

Seja o segmento OM paralelo às aresta AD e BC do cubo. Temos, por construção, que O é o centro do quadrado ABCD, portanto qualquer ponto sobre o segmento OM está a uma mesma distância das arestas AD e BC(pois são paralelos); de onde concluímos que , ou seja, M é ponto médio do segmento AB.

 

Uma conseqüência de OM // BC // AD é: